Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции.

Рассмотрим магнитное поле, создаваемое круговым контуром с постоянным током, на оси контура.

Рассмотрим магнитное поле, создаваемое длинным тонким прямым проводом, по которому течет постоянный ток силой I.

Найдем величину и направление вектора магнитной индукции в точке, находящейся на расстоянии R от провода. Применим принцип суперпозиции

,

где - вектор магнитной индукции, создаваемый линейным элементом тока .

dl
r
dB
a
R
+I
x
dx

Векторы в выбранной точке от всех элементов направлены одинаково (перпендикулярно плоскости, образованной векторами ), поэтому можно перейти от векторной суммы к сумме величин :

, где .

Введём координату х, отсчитываемую от точки пересечения провода и перпендикуляра к проводу, восстановленного из точки наблюдения. Тогда , , , поэтому

.

Но (см. лекцию № 1).

Окончательно, величина индукции магнитного поля на расстоянии R от тонкого длинного прямого провода с постоянным током определяется соотношением:

.

Силовые линии магнитного поля, создаваемого током в бесконечно длинном прямом проводнике, представляют собой окружности, лежащие в плоскости, перпендикулярной проводу, и с центром на оси провода. Направление вектора определяется по правилу правого винта. (Или правой руки: если обхватить правой рукой провод так, чтобы большой палец был направлен по току, то остальные пальцы покажут направление «закрученности» В.)

dl1
dl2
r2
r1
dB2
dB1
dB1+dB2
a
a
x
R
I

По контуру течёт ток силой I, радиус контура R. Найдём величину индукции магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии x от плоскости контура вдоль оси.

Любые два элемента и , расположенные симметрично относительно центра контура, создают в точке наблюдения два симметричных относительно оси вектора и . Сумма этих векторов лежит на оси контура. Поэтому при нахождении суперпозиции всех векторов надо учитывать только проекцию векторов на эту ось

.

Т.к. образующая конуса перпендикулярна касательной к основанию, то угол между векторами и - прямой, поэтому

.

Для всех элементов величины и одинаковые. Следовательно,

или

B

.

С учётом определения магнитного момента контура и величины площади круга можно записать эту формулу в виде

.

Замечание. Картина силовых линий магнитного поля кольца обладает осевой симметрией, поэтому вектор индукции в каждой точке плоскости кольца направлен перпендикулярно этой плоскости. Кроме того, в каждой точке поля вектор лежит в плоскости, проходящей через ось кольца (продольной плоскости).

Так как силовые линии магнитного поля замкнутые, то это поле является вихревым, т.е. , поэтому циркуляция этого векторного поля вдоль любого замкнутого контура Г не равна нулю:

.

dl
n
I
B

Пример. Найдем циркуляцию вектора магнитной индукции поля, создаваемого прямым проводом с током. В качестве контура Г возьмём какую-нибудь силовую линию (представляющую собой, как нам уже известно, окружность с центром на оси провода и лежащую в плоскости, перпендикулярной к проводу). Пусть радиус этой линии равен R, тогда величина магнитной индукции на этой линии постоянна и равна . Выберем ориентацию на контуре Г так, чтобы векторы и были направлены одинаково. (В этом случае нормаль к площадке, ограниченной контуром, и направление тока совпадают.) Тогда

.

Выберем ориентацию на силовой линии так, чтобы векторы и были направлены противоположно, (при этом нормаль к площадке, ограниченной контуром, и направление тока тоже будут направлены противоположно). В этом случае

Этот результат не является случайным, его можно обобщить в виде теоремы о циркуляции вектора индукции магнитного поля:

циркуляция вектора индукции магнитного поля по любому ориентированному замкнутому контуру пропорциональна алгебраической сумме токов, пронизывающих ориентированную площадку, ограниченную контуром. Ориентация контура и площадки согласованы правилом правого винта. Коэффициент пропорциональности – магнитная постоянная:

Сила тока берётся со знаком плюс, если угол между направлением тока и направлением нормали к площадке меньше 90 градусов, и минус если больше.

Если ввести векторное поле плотности тока так, чтобы , то, используя теорему Стокса

,

получаем дифференциальную форму записи теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции:

.

Замечание. Хоть магнитное поле и является вихревым, но отсюда не следует, что циркуляция вектора магнитной индукции всегда отлична от нуля. Например, если контур Г охватывает два одинаковых по силе тока, но пронизывающих площадку в разных направлениях, то для них

, но .

Идеальным соленоидом называется бесконечный тонкий проводник, намотанный на поверхность бесконечного кругового цилиндра так, что при этом круговые витки проводника перпендикулярны оси цилиндра.

Загрузка...

Замечание. В таком соленоиде нет составляющей электрического тока, направленной вдоль оси цилиндра, а только круговые токи в каждом из поперечных сечений. Поэтому можно считать, что соленоид составлен из бесконечного числа одинаковых витков, по которым течет одинаковый по направлению и силе ток.

Плотностью намотки соленоида n называется величина равная отношению количества витков N на некотором участке соленоида к длине этого участка l: .

Найдем величину индукции магнитного поля в какой-нибудь точке А на оси соленоида. Пусть сила тока в соленоиде равна I. Радиус витков R. Плотность намотки n.

z
z
dz
A
zA
z=0

Для нахождения индукции магнитного поля в этой точке, применим принцип суперпозиции для магнитного поля – вектор индукции равен векторной сумме магнитных индукций, создаваемых каждым из колец в отдельности: . Отметим, что все векторы в точке А направлены одинаково – в одну сторону вдоль оси соленоида. Поэтому от векторной суммы можно перейти к сумме длин векторов: .

Введём вдоль оси соленоида ось z. Выделим в соленоиде какое-либо сечение, координату которого примем за ноль (z=0). Пусть точка А имеет координату zА. Небольшая часть соленоида, длина которой равна dz и которая находится в сечении с координатой z, содержит количество витков . Эта часть создаёт в точке А индукцию магнитного поля, величина которой

,

где расстояние от точки А до этого сечения равно .

Тогда или

Делаем замену: и получаем .

Поэтому величина магнитной индукции на оси соленоида равна . Как видно, она не зависит от радиуса соленоида R.

Обсудим расположение силовых линий магнитного поля соленоида (и внутри, и снаружи). Так как магнитное поле соленоида создаётся кольцами с током, то вектор индукции в каждой точке поля лежит в продольной плоскости соленоида (любой плоскости, проходящей через ось соленоида).

Докажем, что в произвольных точках A1, A2, A3, находящихся на равном расстоянии от оси, вектор индукции одинаковый по величине и направлен под одинаковым углом к оси.

B(-I)
A1
A2
B(I)
Bc(I)
I
-I
O2
О1O 2
A1
A2
A3

1) Пусть точки A1 и A2 находятся в одном поперечном сечении. Так как магнитное поле соленоида обладает осевой симметрией, то поворотом вокруг оси можно перенести точку A1 в A2 (и наоборот). Векторы, находящиеся в этих точках должны перейти друг в друга (т.к. они принадлежат одному векторному полю).

2) Пусть точки A1 и A3 находятся в одном продольном сечении. Так как магнитное поле соленоида обладает симметрией сдвига вдоль оси, то сдвигом можно перенести точку A1 в A3 (и наоборот). Векторы, находящиеся в этих точках должны перейти друг в друга (т.к. они принадлежат одному векторному полю).

Докажем теперь, что вектор индукции магнитного поля соленоида в каждой точке направлен параллельно оси соленоида. Для этого рассмотрим вектор в произвольной точке поля, считая, что он не направлен параллельно оси соленоида. Предположим, что при заданном направлении тока I он направлен как . Через рассматриваемую точку можно провести ось симметрии О1О2 поля соленоида и подвергнуть поле повороту на 1800 вокруг этой оси. При этом какие-то точки A1 и A2, расположенные симметрично относительно этой оси перейдут друг в друга, а вектор перейдет в симметричный вектор , а направление тока I в соленоиде поменяется на противоположное: на –I. Но противоположно направленный ток в соленоиде должен создать в рассматриваемой точке противоположно направленный вектор . Поэтому вектору должен соответствовать вектор , не являющийся ему симметричным. Это противоречие можно убрать только в том случае, когда вектор параллелен оси.

I,N
Г1
Г2

Следовательно, силовые линии магнитного поля внутри и снаружи параллельны оси соленоида, а величина индукции зависит только от расстояния до оси соленоида.

Рассмотрим циркуляцию индукции векторного поля по некоторому квадратному контуру Г1, который расположен целиком внутри соленоида так, что одна его сторона лежит на оси. Пусть длина каждой из сторон контура равна L. Тогда

,

(вычеркнуты нулевые слагаемые). Но контур не охватывает никакие токи, поэтому , откуда . Т.к. величина L является произвольной (но L<R), то величина магнитной индукции на любом расстоянии от оси (внутри соленоида) равна величине магнитной индукции на его оси. Таким образом, величина магнитной индукции внутри идеального соленоида постоянная и равна

,

где I – сила тока, n – плотность намотки витков. Следовательно, магнитное поле внутри идеального соленоида является однородным.

Теперь рассмотрим циркуляцию по квадратному контуру Г2, который расположен так, что одна его сторона лежит внутри соленоида параллельно оси, а противоположная - снаружи. Пусть длина каждой из сторон контура равна L. Этот контур охватывает витки, число которых равно N. По виткам текут одинаковые токи в одинаковом направлении, поэтому исходя из ориентации контура и направления токов, получаем

.

Но

При этом внутри соленоида . Получаем равенство , откуда для величины магнитной индукции снаружи соленоида . Плотность намотки витков, по определению, равна , поэтому . Снаружи идеального соленоида магнитное поле отсутствует.

Ответить

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Вы можете использовать HTML- теги и атрибуты:

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>

+ 15 = 16