Перевод из десятичной системы в двоичную

Перевод из двоичной системы в десятичную

Переводы целых чисел в позиционных системах

Вопросы для проверки знаний.

1.Что называют системой счисления и в чем особенности позиционных систем ?

2.Что называют основанием позиционной системы счисления ?

3.Что называют алфавитом системы счисления и какой алфавит используют в позиционных системах с постоянными основаниями ?

4.Что такое “развернутой формой представления целых чисел” в позиционной системе с постоянным основанием, равным р ?

5. Какие позиционные системы с постоянными основаниями являются наиболее распространенными?

Двоичную запись числа представляют в развернутой форме как сумму степеней числа 2, переводя затем степени в десятичную систему. Показатель степени числа 2 равен номеру рассматриваемого разряда.

Пример 1. Перевести в десятичную систему число 10010012.

Решение. Последовательно записываем разложение числа по степеням основания 2, выражаем полученные степени в десятич­ной системе и суммируем: 10010012=1-26+1-23+1-20=6410+810+110=7310.

Проще всего разложить десятичное число по степеням 2 последовательным многократным делением его на 2. При этом остатки от деления на каждом шаге и самое последнее частное образуют обратную двоичную запись числа.

Пример 2. Перевести в двоичную систему число 2910.

Решение. Последовательно делим число и получающиеся частные на 2, выделяя подчеркиванием остатки от деления на каждом шаге и самое последнее частное:

29 ½ 2

28 ½ 14 ½ 2

1 14 ½ 7 ½ 2

0 6 ½ 3 ½ 2

1 2 ½ 1

1

Двоичную запись числа получим, располагая подчеркнутые числа в обратном порядке: 2910=111012.

2.1.3. Перевод чисел из систем с основаниями р=4, р=8, р=16 в десятичную систему

Для компактной записи двоичной информации удобно использовать числа в системах счисления с основаниями, являющимися степенями 2: р=4=22, р=8=23, р=16=24. Поскольку в шестнадцатеричной системе счисления в каждом разряде могут стоять величины, соответствующие значениям от 0 до р-1 = 15, то для обозначения ве­личин, превышающих 9, в алфавите системы по общему правилу используют латинские буквы (большие и малые): 101016, 111016, 121016, 1310=D16, 1410=E16, 1510=F16.

Перевод чисел из рассмотренных систем счисления производится, как и для двоичной системы, с использованием развернутой формы представления числа по степеням числа р.

Пример 3. Перевести в десятичную систему число, представленное в шестнадцатеричной системе как 8DВ416.

Решение. Последовательно записываем развернутую форму представления числа по степеням основания 16, выражаем полученные степени в десятичной системе и суммируем: 8DВ416 = 8-163+D-162+11-161+4-160 = 8-4096+13-256+11-16+4 = 3276810+ 332810+ 17610+410=3627610.

Пример 4. Перевести в десятичную систему число, представленное в четверичной системе как 203134.

Решение. Используем развернутую форму представления числа по степеням основания 4, выражаем их в десятичной системе и суммируем:

203134=2-44+3-42+1-41+3-40=2-256+3-16+1-4+3-1=51210+4810+410+310=56710.

2.1.4. Перевод чисел из десятичной системы в системы с основаниями p=4, p=8, p=16

Производится аналогично двоичной системе путем последовательного деления десятичной записи числа на p и записи в обратном порядке всех остатков от деления на каждом шаге и самого последнего частного.

Пример 5. Перевести в 16-ричную систему число 153210.

Решение. Последовательно делим число и его частные на 16, выделяя остатки от деления и самое последнее частное:

_ 1532½16

1520½95 ½16

1280 ½5

15

Шестнадцатеричную запись числа получаем, переводя все подчеркнутые числа в 16-ричную систему (121016, 1510=F16) и рас­по­ла­гая их в обратном порядке: 153210=5FС16.

Переходы между системами с основаниями вида р=2s, являющимися степенями 2, проще выполнять через двоичную систему.

2.1.5. Перевод целого числа из системы с основанием p=2s в двоичную

Все цифры (в том числе и 0), стоящие в разрядах числа, заменяют их двоичными записями длины s. Если в самых старших разрядах двоичной записи (слева) оказались стоящие подряд нули, их можно отбросить, как незначащие.

Пример 6. Перевести в двоичную систему число, представленное в восьмеричной системе: 31078.

Решение. Так как 8=23, то s=3. Представляя по очереди цифры в разрядах числа их двоичными записями длины s=3, получим: 38=0112, 18=0012, 08=0002, 78=1112. Соединяя полученные двоичные выражения и отбрасывая незначащий нуль в первой записи (для цифры 3), получим искомый ответ:

31078=110010001112.

Пример 7. Перевести в двоичную систему число, представленное в шестнадцатеричной системе как 2А0D16.

Загрузка...

Решение. 16=24, s=4. Все цифры в разрядах числа пооче­редно заменяем их двоичными записями длины s=4: 216=00102, А16= 10102, 016=00002, D16=11012. Соединяя найденные двоичные выражения и отбрасывая незначащие нули в первой записи, получим: 2А0D16=101010000011012.

2.1.6. Прямой перевод целого числа из двоичной системы в систему с основанием р=2s

Все разряды двоичной записи числа, начиная с младших (стоящих справа), разбивают на группы длины s. Если последняя группа получилась длины, меньшей s, ее спереди дополняют незначащими нулями. Затем двоичные числа в полученных группах заменяют цифрами в системе с основанием р=2s и объединяют в одну запись, которая и является искомым выражением.

Пример 8. Перевести в шестнадцатеричную систему двоичное число 10110100112.

Решение. 16=24, s=4. Разбиение на группы длины s=4 с дополнением первой группы из двух цифр двумя незначащими нулями дает следующие двоичные числа: 0010, 1101, 0011. Заменяя их числами в шестнадцатеричной системе (00102=216, 11012=D16, 00112= 316) и записывая слитно, получаем искомую запись числа: 2D316.

Пример 9. Перевести в четверичную систему двоичное число 111011110002.

Решение. 4=22, s=2. Разбиение на группы длины s=2 с дополнением первой группы одним незначащим нулем дает следую­щие двоичные числа: 01, 11, 01, 11, 10, 00. Заменяя их числами в четверичной системе (012=14, 112=34, 012=14, 112=34, 102=24, 002=04) и записывая слитно, получаем искомую четверичную запись числа:

111011110002=1313204.

2.1.7. Перевод целых чисел из системы с основанием р=2s в систему с другим основанием, равным степени 2

В общем случае можно производить через двоичную систему. Для упрощенного перевода из шестнадцатеричной системы в четверичную можно использовать зависимость 42=16 и переводить непосредственно пары цифр четверичной записи, отсчитываемые от младших разрядов (справа налево) в шестнадцатеричные цифры и обратно.

Пример 10. Перевести в восьмеричную систему шестнадцатеричное число C7А016.

Решение. В исходной системе 16=24, s=4, поэтому каждый знак в разряде заменяем двоичным числом длины 4: (C16=11002, 716=01112, А16=10102, 016=00002). Соединяя полученные записи, получаем двоичную запись числа 11000111101000002. В итоговой системе 8=23, s=3, поэтому двоичную запись, начиная с младших разря­дов, делим на группы длины 3 и записываем их в восьмеричной системе. Получим: 12=18, 1002=48, 0112=38, 1102=68, 1002=48, 0002=08. Записывая полученные восьмеричные числа слитно, получим искомую запись числа в восьмеричной системе: C7А016=1436408.


Ответить

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Вы можете использовать HTML- теги и атрибуты:

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>

67 + = 73